Lei de Gauss - Equação de Gauss - Física III - Nível Universitário

A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico resultante $Φ$ de um campo elétrico, através de uma superfície fechada, com a carga resultante que é envolvida por essa superfície. Em outras palavras, a lei de Gauss relaciona os campos elétricos em pontos sobre uma superfície gaussiana (fechada) com a carga resultante envolta por essa superfície.
Matematicamente, a lei de Gauss é representada pela equação: 

$\epsilon_0 \phi$= q
$\epsilon_0\int E.dA=q$ Onde:
ε0 = constante de permissividade elétrica no vácuo
Φ = fluxo elétrico resultante
q = carga elétrica envolvida

Na equação, “q” é a soma algébrica de todas as cargas envolvidas, sendo elas positivas ou negativas. É importante salientar que o sinal diz algo a respeito do fluxo resultante. Se q for maior do que zero, o fluxo resultante é para fora; se q for menor do que zero, o fluxo resultante é para dentro.

Uma carga fora da superfície gaussiana, não importa o seu tamanho ou sua proximidade, não é incluída no termo q da lei de Gauss. Também não importa a forma ou a localização exata das cargas dentro da superfície gaussiana, importa apenas o sinal da carga resultante envolvida.

O campo elétrico, em razão de uma carga fora da superfície gaussiana, não contribui com nenhum fluxo resultante através da superfície, pois a quantidade de linhas de campo, em virtude dessa carga que entra na superfície, é a mesma que sai dela.
Podemos dizer que a lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb, pois podemos deduzir a lei de Coulomb através da lei de Gauss.
$\epsilon_0\int E.dA = \epsilon_0\int E.dA = q$

$\epsilon_o E \int dA=q$

$\epsilon_0E(4\pi r^2)=q$

$E= \frac{1 q}{4\pi\epsilon _0 r^2}$

Essa equação é exatamente a equação do campo elétrico, deduzida através da equação de Gauss.
Fonte: Halliday